自己怎么做一元购物网站,做排名的网站,深圳互联网公司排行榜100,深圳seo优化排名公司1. 求下列函数的自然定义域 自然定义域就是使函数有意义的定义域。 常见自然定义域#xff1a;
开根号 x \sqrt x x #xff1a; x ≥ 0 x \ge 0 x≥0自变量为分式的分母 1 x \frac{1}{x} x1#xff1a; x ≠ 0 x \ne 0 x0三角函数 tan x cot x \tan x \cot x …1. 求下列函数的自然定义域 自然定义域就是使函数有意义的定义域。 常见自然定义域
开根号 x \sqrt x x x ≥ 0 x \ge 0 x≥0自变量为分式的分母 1 x \frac{1}{x} x1 x ≠ 0 x \ne 0 x0三角函数 tan x cot x \tan x \cot x tanxcotx x ≠ π 2 k π x\ne \frac{\pi}{2}k\pi x2πkπ反三角函数 arcsin x , arccos x \arcsin x,\arccos x arcsinx,arccosx − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le 1 −1≤x≤1反三角函数 arctan x \arctan x arctanx x ∈ R x\in R x∈R对数函数 ln x \ln x lnx x 0 x\gt 0 x0
(3) y 1 x − 1 − x 2 y\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2} yx1−1−x2 解 { x ≠ 0 , 1 − x 2 ≥ 0 得 − 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0 ∴ D [ − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ] 解\\ \begin{cases} x\ne 0,\\ 1-x^2\ge 0\\ \end{cases}\\ 得 -1\le x\le 1且x\ne 0\\ \therefore D[-1,0)\cup(0,1] 解{x0,1−x2≥0得−1≤x≤1且x0∴D[−1,0)∪(0,1] (8) y 3 − x arctan 1 x y\sqrt{3-x}\arctan{\frac{1}{x}} y3−x arctanx1 解 该函数由 y 1 3 − x 与 y 2 arctan 1 x 复合而成所以应同时满足 { 3 − x ≥ 0 , x ≠ 0 得 x ≤ 3 且 x ≠ 0 ∴ 定义域 D ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , 3 ] 解\\ 该函数由y_1\sqrt{3-x}与y_2\arctan{\frac{1}{x}}复合而成所以应同时满足\\ \begin{cases} 3-x\ge 0,\\ x\ne 0\\ \end{cases}\\ 得 x\le 3且x\ne 0\\ \therefore 定义域D (-\infty, 0)\cup (0,3] 解该函数由y13−x 与y2arctanx1复合而成所以应同时满足{3−x≥0,x0得x≤3且x0∴定义域D(−∞,0)∪(0,3]
2. 下列各题中函数 f ( x ) 和 g ( x ) f(x)和g(x) f(x)和g(x)是否相同为什么 函数相同满足条件定义域相同函数关系相同 Tips: 变量符号可不同
3 f ( x ) x 4 − x 3 3 , g ( x ) x x − 1 3 f(x)\sqrt[3]{x^4-x^3},g(x)x\sqrt[3]{x-1} f(x)3x4−x3 ,g(x)x3x−1 f ( x ) 与 g ( x ) 相同 f ( x ) x 4 − x 3 3 , x ∈ R 化简得 : f ( x ) x x − 1 3 g ( x ) x x − 1 3 , x ∈ R 定义域相同函数关系相同所以 f ( x ) 与 g ( x ) 相同 f(x)与g(x)相同\\ f(x)\sqrt[3]{x^4-x^3},x\in R\\ 化简得:f(x)x\sqrt[3]{x-1}\\ g(x)x\sqrt[3]{x-1},x\in R\\ 定义域相同函数关系相同所以f(x)与g(x)相同 f(x)与g(x)相同f(x)3x4−x3 ,x∈R化简得:f(x)x3x−1 g(x)x3x−1 ,x∈R定义域相同函数关系相同所以f(x)与g(x)相同 (4) f ( x ) 1 , g ( x ) sec 2 x − tan 2 x f(x)1,g(x)\sec^2x-\tan^2x f(x)1,g(x)sec2x−tan2x 解 f ( x ) 定义域为 : D f R g ( x ) 的定义域为 D g ( − π 2 k π , π 2 k π ) , k ∈ Z ∴ f ( x ) 与 g ( x ) 不同 解\\ f(x)定义域为:D_fR\\ g(x)的定义域为D_g(-\frac{\pi}{2}k\pi,\frac{\pi}{2}k\pi),k\in Z\\ \therefore f(x)与g(x)不同 解f(x)定义域为:DfRg(x)的定义域为Dg(−2πkπ,2πkπ),k∈Z∴f(x)与g(x)不同
3. 分段三角函数值和图形 ϕ ( x ) { ∣ sin x ∣ , ∣ x ∣ π 3 , 0 , ∣ x ∣ ≥ π 3 \phi(x)\begin{cases} |\sin x|,\quad|x|\lt \frac{\pi}{3},\\ 0,\qquad\quad |x|\ge \frac{\pi}{3} \end{cases} ϕ(x){∣sinx∣,∣x∣3π,0,∣x∣≥3π
求 ϕ ( π 6 ) , ϕ ( π 4 ) , ϕ ( − π 4 ) , ϕ ( − 2 ) \phi(\frac{\pi}{6}),\phi(\frac{\pi}{4}),\phi(-\frac{\pi}{4}),\phi(-2) ϕ(6π),ϕ(4π),ϕ(−4π),ϕ(−2)并做出函数 y ϕ ( x ) y\phi(x) yϕ(x)的图形 解 ϕ ( π 6 ) ∣ sin π 6 ∣ 1 2 ϕ ( π 4 ) 2 2 ϕ ( − π 4 ) 2 2 ϕ ( − 2 ) 0 解\\ \phi(\frac{\pi}{6})|\sin \frac{\pi}{6}|\frac{1}{2}\\ \phi(\frac{\pi}{4})\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-\frac{\pi}{4})\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-2)0 解ϕ(6π)∣sin6π∣21ϕ(4π)22 ϕ(−4π)22 ϕ(−2)0 图形如下图所示 4. 试证下列函数在指定区间内的单调性
1 y x 1 − x , ( − ∞ , 1 ) y\frac{x}{1-x},(-\infty,1) y1−xx,(−∞,1) (2) y x ln x , ( 0 , ∞ ) yx\ln x,(0,\infty) yxlnx,(0,∞) 证明 ( 1 ) 设置 x 1 , x 2 ∈ ( − ∞ , 1 ) , 且 x 1 x 2 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) x 1 1 − x 1 − x 2 1 − x 2 x 1 − x 2 ( 1 − x 1 ) ( 1 − x 2 ) 0 ∴ y x 1 − x 在区间 ( − ∞ , 1 ) 上单调递增 2 设置 x 1 , x 2 ∈ ( 0 , ∞ ) , 且 x 1 x 2 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) x 1 ln x 1 − ( x 2 ln x 2 ) ( x 1 − x 2 ) ln x 1 x 2 0 ∴ y x ln x 在区间 ( 0 , ∞ ) 区间上单调递增 证明\\ (1)设置x_1,x_2\in (-\infty,1),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}\\ \frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}\lt 0\\ \therefore y\frac{x}{1-x}在区间(-\infty,1)上单调递增\\ 2设置x_1,x_2\in (0,\infty),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)x_1\ln x_1-(x_2\ln x_2)\\ (x_1-x_2)\ln\frac{x_1}{x_2}\lt 0\\ \therefore yx\ln x在区间(0,\infty)区间上单调递增 证明(1)设置x1,x2∈(−∞,1),且x1x2f(x1)−f(x2)1−x1x1−1−x2x2(1−x1)(1−x2)x1−x20∴y1−xx在区间(−∞,1)上单调递增2设置x1,x2∈(0,∞),且x1x2f(x1)−f(x2)x1lnx1−(x2lnx2)(x1−x2)lnx2x10∴yxlnx在区间(0,∞)区间上单调递增
5. 奇偶性与单调性
设f(x)为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内的奇函数若f(x)在 ( 0 , l ) (0,l) (0,l)内单调增加证明f(x)在 ( − l , 0 ) (-l,0) (−l,0)内也单调递增 证明 设 x 1 , x 2 ∈ ( 0 , l ) , 且 x 1 x 2 则 − x 1 , − x 2 ∈ ( − l , 0 ) , 且 − x 1 − x 2 ∵ f ( x ) 在 ( − l , l ) 内为奇函数则 f ( x ) − f ( − x ) f ( x ) 在 ( 0 , l ) 内单调增加 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 即 − f ( − x 1 ) − f ( − x 2 ) f ( − x 1 ) f ( − x 2 ) 即 f ( x ) 在 ( − 1 , 0 ) 内也单调增加 证明\\ 设x_1,x_2\in(0,l),且x_1\lt x_2\\ 则 -x_1,-x_2\in(-l,0),且-x_1\gt -x_2\\ \because f(x)在(-l,l)内为奇函数则\\ f(x)-f(-x)\\ f(x)在(0,l)内单调增加\\ f(x_1)\lt f(x_2)\\ 即-f(-x_1)\lt -f(-x_2)f(-x_1)\gt f(-x_2)\\ 即f(x)在(-1,0)内也单调增加 证明设x1,x2∈(0,l),且x1x2则−x1,−x2∈(−l,0),且−x1−x2∵f(x)在(−l,l)内为奇函数则f(x)−f(−x)f(x)在(0,l)内单调增加f(x1)f(x2)即−f(−x1)−f(−x2)f(−x1)f(−x2)即f(x)在(−1,0)内也单调增加
6. 奇偶运算结果的奇偶性
只给结论不再证明
两个偶函数的和是偶函数两个奇函数的和是奇函数。两个偶函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
8.周期函数的周期
(3) 1 sin ( π x ) 1\sin(\pi x) 1sin(πx) 周期 2 (5) sin 2 x \sin^2x sin2x sin 2 x 1 − cos 2 x 2 周期为 π \sin^2x \frac{1-\cos2x}{2}\\ 周期为\pi sin2x21−cos2x周期为π
9.求下列函数的反函数
(2) y 1 − x 1 x y\frac{1-x}{1x} y1x1−x 解 y 1 − x 1 x y ( 1 x ) 1 − x y x x 1 − y x 1 − y 1 y , y ̸ − 1 f − 1 ( x ) 1 − x 1 x , x ̸ − 1 解\\ y\frac{1-x}{1x}\\ y(1x)1-x\\ yxx1-y\\ x\frac{1-y}{1y},y\not-1\\ f^{-1}(x)\frac{1-x}{1x},x\not-1 解y1x1−xy(1x)1−xyxx1−yx1y1−y,y−1f−1(x)1x1−x,x−1
(3) y a x b c x d ( a d − b c ̸ 0 ) y\frac{axb}{cxd}(ad-bc\not0) ycxdaxb(ad−bc0) 解 y a x b c x d y ( c x d ) a x b c y x − a x b − d y x − d y b c y − a 解\\ y\frac{axb}{cxd}\\ y(cxd)axb\\ cyx-axb-dy\\ x\frac{-dyb}{cy-a} 解ycxdaxby(cxd)axbcyx−axb−dyxcy−a−dyb (6) y 2 x 2 x 1 y\frac{2^x}{2^x1} y2x12x 解 y 2 x 2 x 1 2 x ( 1 − y ) y x log 2 ( y 1 − y ) f − 1 ( x ) log 2 ( y 1 − y ) 解\\ y \frac{2^x}{2^x1}\\ 2^x(1-y)y\\ x\log_2(\frac{y}{1-y})\\ f^{-1}(x)\log_2(\frac{y}{1-y}) 解y2x12x2x(1−y)yxlog2(1−yy)f−1(x)log2(1−yy)
结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址https://gitee.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p16-18.
[2]同济《高等数学》第七版-课后题逐题讲解[CP/OL].2023-07-26.p1.
