电子商务网站建设应用技术,昆明系统开发,指数函数公式,wordpress的特点()数学建模笔记——熵权法[客观赋权法] 熵权法(客观赋权法)1. 基本概念2. 基本步骤3. 典型例题3.1 正向化矩阵3.2 对正向化矩阵进行矩阵标准化3.3 计算概率矩阵P3.4 计算熵权3.5 计算得分 4. python代码实现 熵权法(客观赋权法)
1. 基本概念
熵权法,物理学名词,按照信息论基本原… 数学建模笔记——熵权法[客观赋权法] 熵权法(客观赋权法)1. 基本概念2. 基本步骤3. 典型例题3.1 正向化矩阵3.2 对正向化矩阵进行矩阵标准化3.3 计算概率矩阵P3.4 计算熵权3.5 计算得分 4. python代码实现 熵权法(客观赋权法)
1. 基本概念
熵权法,物理学名词,按照信息论基本原理的解释,信息是系统有序程度的一个度量,熵是系统无序程度的一个度量;根据信息熵的定义,对于某项指标,可以用熵值来判断某个指标的离散程度,其信息熵值越小,指标的离散程度越大,该指标对综合评价的影响(即权重)就越大,如果某项指标的值全部相等,则该指标在综合评价中不起作用。因此,可利用信息熵这个工具,计算出各个指标的权重,为多指标综合评价提供依据。
熵权法是一种客观的赋权方法,它可以靠数据本身得出权重。依据的原理:指标的变异程度越小,所反映的信息量也越少,其对应的权值也应该越低。
另一种表述越有可能发生的事情信息量越少。越不可能发生的事情信息量就越多。其中我们认为 概率 就是衡量事情发生的可能性大小的指标。
那么把 信息量 用字母 I I I表示概率用 P P P表示那么我们可以将它们建立一个函数关系 那么假设 x 表示事件 X 可能发生的某种情况p(x)表示这种情况发生的概率情况如上图所示该图像可以用对数函数进行拟合那 么最终我们可以定义 I ( x ) − ln ( p ( x ) ) I(x)-\ln(p(x)) I(x)−ln(p(x)),因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0\leq p(x)\leq1 0≤p(x)≤1,所以 I ( x ) ≥ 0 I(x)\geq0 I(x)≥0。
信息熵的定义
假设 x 表示事件 X 可能发生的某种情况p(x) 表示这种情况发生的概率我们可以定义 I ( x ) − ln ( p ( x ) ) I(x)-\ln(p(x)) I(x)−ln(p(x)) ,因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0\leq p(x)\leq1 0≤p(x)≤1 , 所以 I ( x ) ≥ 0 I(x)\geq0 I(x)≥0。如果事件 X 可能发生的情况分别为 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn ,那么我们可以定义事件 X X X 的信息熵为 H ( X ) ∑ i 1 n [ p ( x i ) I ( x i ) ] − ∑ i 1 n [ p ( x i ) ln ( p ( x i ) ) ] H(X)\sum_{i1}^n\left[p(x_i)I(x_i)\right]-\sum_{i1}^n\left[p(x_i)\ln(p(x_i))\right] H(X)i1∑n[p(xi)I(xi)]−i1∑n[p(xi)ln(p(xi))]
那么从上面的公式可以看出信息上的本质就是对信息量的期望值。
可以证明的是 p ( x 1 ) p ( x 1 ) ⋯ p ( x n ) 1 / n p(x_1)p(x_1)\cdotsp(x_n)1/n p(x1)p(x1)⋯p(xn)1/n时 H ( x ) H(x) H(x)取最大值此时 H ( x ) ln ( n ) H(x)\ln(n) H(x)ln(n)。(n表示事件发生情况的总数)
2. 基本步骤
熵权法的计算步骤大致分为以下三步 数据标准化 假设有 n n n个要评价的对象 m m m个评价指标(已经正向化了)构成的正向化矩阵如下 X [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X\begin{bmatrix}x_{11}x_{12}\cdotsx_{1m}\\x_{21}x_{22}\cdotsx_{2m}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\x_{n1}x_{n2}\cdotsx_{nm}\end{bmatrix} X x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm 设标准化矩阵为 Z Z Z , Z Z Z中元素记为 z i j : z_{ij}: zij: z i j x i j ∑ i 1 n x i j 2 z_{ij}\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i1}^nx_{ij}^2}} zij∑i1nxij2 xij 判断 Z Z Z矩阵中是否存在着负数如果存在的话需要对 X X X使用另一种标准化方法对矩阵 X X X进行一次标准化得到 Z Z Z矩阵其标准化的公式为 z i j x i j − m i n { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } m a x { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } − m i n { x 1 j , x 2 j , ⋯ , x n j } z_{ij}\frac{x_{ij}-min\{x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{nj}\}}{max\{x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{nj}\}-min\{x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{nj}\}} zijmax{x1j,x2j,⋯,xnj}−min{x1j,x2j,⋯,xnj}xij−min{x1j,x2j,⋯,xnj} 这样可以保证 z i j z_{ij} zij在 [0,1] 区间没有负数。 计算概率矩阵P 假设有 n n n个要评价的对象 m m m个评价指标且经过了上一步处理得到的非负矩阵为 Z [ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m ] Z\begin{bmatrix}z_{11}z_{12}\cdotsz_{1m}\\z_{21}z_{22}\cdotsz_{2m}\\\vdots\vdots\ddots\vdots\\z_{n1}z_{n2}\cdotsz_{nm}\end{bmatrix} Z z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm 计算概率矩阵 P P P,其中 P P P中每一个元素 p i j p_{ij} pij,的计算公式如下 p i j z i j ∑ i 1 n z i j p_{ij}\:\:\frac{z_{ij}}{\sum_{i1}^nz_{ij}} pij∑i1nzijzij 保证每一列的加和为1即每个指标所对应的概率和为1。 计算熵权 信息熵的计算 对于第 j j j个指标而言其信息嫡的计算公式为 e j − 1 ln n ∑ i 1 n p i j ln ( p i j ) , ( j 1 , 2 , ⋯ , m ) e_j-\frac{1}{\ln n}\sum_{i1}^np_{ij}\ln(p_{ij}),\quad(j1,2,\cdots,m) ej−lnn1i1∑npijln(pij),(j1,2,⋯,m) 注意这里如果说 p i j p_{ij} pij为0那么就需要指定 l n ( 0 ) 0 ln(0)0 ln(0)0 。 信息效用值的定义: d j 1 − e j d_j1-e_j dj1−ej 那么信息效用值越大其对应的信息就越多。 将信息效用值进行归一化我们就能够得到每个指标的 熵权 ω j d j ∑ j 1 m d j , ( j 1 , 2 , 3 , ⋯ , m ) \begin{aligned}\omega_{j}\frac{d_j}{\sum_{j1}^md_j},\quad(j1,2,3,\cdots,m)\end{aligned} ωj∑j1mdjdj,(j1,2,3,⋯,m)
3. 典型例题 明星Kun想找一个对象但喜欢他的人太多不知道怎么选经过层层考察留下三个候选人。他认为身高165是最好的体重在90-100斤是最好的。 候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A910165120B8716680C6316490 观察候选人的数据我们可以发现ABC三人的身高是极为接近的那么对于找对象来说这个指标是不是就不重要了呢 对于体重这个指标来说三人相差较大那么找对象是不是就多考虑这个指标
3.1 正向化矩阵
候选人颜值脾气(争吵次数)身高体重A9000B830.90.5C670.21
3.2 对正向化矩阵进行矩阵标准化
因为指标中没有负数采用 z i j x i j ∑ i 1 n x i j 2 z_{ij}\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i1}^nx_{ij}^2}} zij∑i1nxij2 xij进行标准化
候选人颜值牌气(争吵次数)身高体重A0.669000B0.5950.3940.9760.447C0.4460.9190.2170.894
3.3 计算概率矩阵P
计算标准化矩阵第 j j j项指标下第 i i i个样本所占的比重 p i j z i j ∑ i 1 n z i j p_{ij}\:\:\frac{z_{ij}}{\sum_{i1}^nz_{ij}} pij∑i1nzijzij
候选人颜值脾气(争吵次数)身高体重A0.391000B0.3480.3000.8180.333C0.2610.7000.1820.667
3.4 计算熵权
颜值脾气(争吵次数)身高体重0.00850.30720.39310.2912
3.5 计算得分
候选人得分A0.0044B0.5009C0.4946
4. python代码实现
import numpy as np
# 定义一个自定义的对数函数用于处理输入数组中的零元素def mylog(p):n len(p)lnp np.zeros(n)for i in range(n):if p[i] 0:lnp[i] 0else:lnp[i] np.log(p[i])return lnp# 定义一个指标矩阵
X np.array([[9, 0, 0, 0], [8, 3, 0.9, 0.5], [6, 7, 0.2, 1]])# 对矩阵X的每一列进行标准化处理
Z X/np.sqrt(np.sum(X**2, axis0))
print(标准化后的矩阵为\n{}.format(Z))# 计算熵权所需的变量和矩阵初始化
n, m Z.shape
D np.zeros(m)# 计算每个指标的信息效用值
for i in range(m):x Z[:, i]p x/np.sum(x)e -np.sum(p*mylog(p))/np.log(n)D[i] 1-e# 根据信息效用值计算各指标权重
W D/np.sum(D)
print(各指标权重为\n{}.format(W))
输出
标准化后的矩阵为
[[0.66896473 0. 0. 0. ][0.59463532 0.3939193 0.97618706 0.4472136 ][0.44597649 0.91914503 0.21693046 0.89442719]]
各指标权重为
[0.00856537 0.30716152 0.39326471 0.2910084 ]
