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什么是高斯混合模型
高斯混合模型Gaussian Mixture Models GMMs假设存在一定数量的高斯分布并且每个分布代表一个簇。高斯混合模型倾向于将属于同一分布的数据点分组在一起。
它是一种基于概率分布的聚类算法它是首先假设每个簇符合不同的高斯分布也就是多元正态分布说白了就是每个簇内的数据会符合一定的数据分布。
我们有三个簇用三种颜色表示-蓝色、绿色和青色。我们用红色突出显示一个数据点这个点划分进蓝色簇的概率为1而划分进绿色簇或者青色簇的概率为0。 考虑另一个点-介于蓝色和青色簇之间在下图中突出显示这个点划分进绿色簇的概率为0对吧而划分进蓝色、青色簇的概率分别是0.20.8。 不再使用基于距离的模型,而是使用基于分布的模型,这就是高斯混合模型出现在本文的意义
举例
想象你在一个果园这个果园里有苹果、梨和桃子三种水果。每种水果的大小和重量都有一定的特点。高斯混合就像是我们用来描述这些水果特点的工具。在这个模型中我们用三个“高斯分布”简单来说就是一种特殊的图形或曲线来分别描述苹果、梨和桃子的大小和重量。
每个高斯分布都可以被看作是一条“曲线”这条曲线的形状由三个参数决定均值中心位置、协方差宽度或形状和混合系数高度。算法的目标就是调整这些曲线让它们尽可能准确地描述每种水果的特点。
数学知识
正态分布/高斯分布
正态分布Normal distribution也称“常态分布”又叫高斯分布Gaussian distribution正态曲线呈钟型两头低中间高左右对称因其曲线呈钟形因此人们又经常称之为钟形曲线 多元高斯分布
上述的只适用于单个变量在两个变量的情况下我们将得到如下所示的三维钟形曲线而不是二维钟形曲线 对n维样本空间X中的随机向量x若x服从高斯分布其概率密度函数为 其中的a是代表我们选择每个簇的概率那么它的和肯定是等于1的
流程
假设k个高斯分布然后判断每个样本符合各个分布的概率将该样本划为概率最大的那个分布簇内然后一轮后进行更新我们的高斯分布参数就会用到我们的极大似然估计然后再基于新的分布去计算符合各个分布的概率不断迭代更新直至模型收敛达到局部最优解常见的算法就是EM算法它会同时估计出每个样本所属的簇类别以及每个簇的概率分布的参数。
概率密度常记为f(X)p(x∣μi,∑) 意思就是在参数为一定值的情况下符合的分布对应相应的概率密度函数。 我们会求出数据 j 符合每个分布的概率然后获得之中最大的概率那么数据 j 就会被划分到与之对应的簇
在求该概率时公式分子和分母都存在某一分布的概率密度我们只是知道符合高斯分布但是具体的参数是不知道的
为了获得概率密度函数采用极大似然的方式常见的有EM算法就是我们的样本数据出现在对应分布的概率乘积达到最大
最大化似然 算法代码 上图中公式如下 解释如下 示例
数据集 参考文章
【机器学习】聚类算法——高斯混合聚类理论图解-CSDN博客
独家 | 使用高斯混合模型让聚类更好更精确附数据代码学习资源
书 机器学习 周志华
