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1、理解矩阵的概念#xff0c;了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质. 2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律#xff0c;了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3、理解逆矩阵的概念#x…考试要求
1、理解矩阵的概念了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质. 2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3、理解逆矩阵的概念掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件.理解伴随矩阵的概念会用伴随矩阵求逆矩阵. 4、了解矩阵初等变换的概念了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念理解矩阵的秩的概念掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 5、了解分块矩阵及其运算.
矩阵的概念及运算
矩阵的概念
定义 m × n m\times n m×n个数排成如下 m m m行 n n n的一个表格 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] \left[\begin{matrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n}\\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n}\\ \vdots \vdots \vdots \vdots\\ a_{n1} a_{n2} \cdots a_{nn}\\ \end{matrix}\right] a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮ann 称为一个 m × n m\times n m×n矩阵当 m n mn mn时矩阵 A A A称为 n n n阶矩阵或叫 n n n阶方阵 如果一个矩阵的所有元素都是0即 [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] \left[\begin{matrix} 0 0 \cdots 0\\ 0 0 \cdots 0\\ \vdots \vdots \vdots \vdots\\ 0 0 \cdots 0\\ \end{matrix}\right] 00⋮000⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮0 则称这个矩阵是零矩阵可简记为 O O O. 两个矩阵 A [ a i j ] m × n B [ b i j ] s × t A[a_{ij}]_{m\times n}B[b_{ij}]_{s\times t} A[aij]m×nB[bij]s×t如果 m s , n t ms,nt ms,nt则称 A A A与 B B B是同型矩阵。 两个同型矩阵 A [ a i j ] m × n B [ b i j ] m × n A[a_{ij}]_{m\times n}B[b_{ij}]_{m\times n} A[aij]m×nB[bij]m×n如果对应的元素都相等记 a i j b i j ( i 1 , 2 , ⋯ , m ; j 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij}b_{ij}(i1,2,\cdots,m;j1,2,\cdots,n) aijbij(i1,2,⋯,m;j1,2,⋯,n) ,则称矩阵A与B相等记作 A B AB AB 矩阵的运算
加法 两个同型矩阵可以相加且 A B [ a i j ] m × n [ b i j ] m × n [ a i j b i j ] m × n AB[a_{ij}]_{m\times n}[b_{ij}]_{m\times n}[a_{ij}b_{ij}]_{m\times n} AB[aij]m×n[bij]m×n[aijbij]m×n
数乘 设 k k k是数 A [ a i j ] m × n A[a_{ij}]_{m\times n} A[aij]m×n是矩阵则定义数与矩阵的乘法为 k A k [ a i j ] m × n [ k a i j ] m × n kAk[a_{ij}]_{m\times n}[ka_{ij}]_{m\times n} kAk[aij]m×n[kaij]m×n 乘法 设 A A A是一个 m × s m\times s m×s矩阵 B B B是一个 s × n s\times n s×n矩阵 ( A A A的列数 B B B的行数)则 A , B A,B A,B可乘且乘积 A B AB AB是一个 m × n m\times n m×n的矩阵记成 C A B [ c i j ] m × n CAB[c_{ij}]_{m\times n} CAB[cij]m×n其中 C C C的第 i i i行、第 j j j列元素 c i j c_{ij} cij是 A A A的第 i i i行 s s s个元素和 B B B的第 j j j列的 s s s个对应元素两两乘积之和即 c i j ∑ k 1 s a i k b k j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j ⋯ a i s b s j c_{ij}\sum_{k1}^sa_{ik}b_{kj}a_{i1}b_{1j}a_{i2}b_{2j}\cdotsa_{is}b_{sj} cijk1∑saikbkjai1b1jai2b2j⋯aisbsj 单位矩阵E 主对角线全为1 [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] \left[\begin{matrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\ \vdots \vdots \vdots \vdots\\ 0 0 \cdots 1\\ \end{matrix}\right] 10⋮001⋮0⋯⋯⋮⋯00⋮1 对角矩阵 [ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] [ b 1 0 0 0 b 2 0 0 0 b 3 ] [ a 1 b 1 0 0 0 a 2 b 2 0 0 0 a 3 b 3 ] \left[\begin{matrix} a_1 0 0\\ 0 a_2 0\\ 0 0 a_3\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} b_1 0 0\\ 0 b_2 0\\ 0 0 b_3\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} a_1b1 0 0\\ 0 a_2b2 0\\ 0 0 a_3b3\\ \end{matrix}\right] a1000a2000a3 b1000b2000b3 a1b1000a2b2000a3b3 1、 Λ 1 Λ 2 Λ 2 Λ 1 \Lambda_1\Lambda_2\Lambda_2\Lambda_1 Λ1Λ2Λ2Λ1 2、 [ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] n [ a 1 n 0 0 0 a 2 n 0 0 0 a 3 n ] \left[\begin{matrix} a_1 0 0\\ 0 a_2 0\\ 0 0 a_3\\ \end{matrix}\right]^n\left[\begin{matrix} a_1^n 0 0\\ 0 a_2^n 0\\ 0 0 a_3^n\\ \end{matrix}\right] a1000a2000a3 n a1n000a2n000a3n 3、 [ a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 ] − 1 [ 1 a 1 0 0 0 1 a 2 0 0 0 1 a 3 ] ( a i ≠ 0 ) \left[\begin{matrix} a_1 0 0\\ 0 a_2 0\\ 0 0 a_3\\ \end{matrix}\right]^{-1}\left[\begin{matrix} \frac{1}{a_1} 0 0\\ 0 \frac{1}{a_2} 0\\ 0 0 \frac{1}{a_3}\\ \end{matrix}\right](a_i\ne 0) a1000a2000a3 −1 a11000a21000a31 (ai0) 定义 转置 将 m × n m\times n m×n型矩阵 A [ a i j ] m × n A[a_{ij}]_{m\times n} A[aij]m×n的行列互换得到的 n × m n\times m n×m矩阵 [ a i j ] m × n [a_{ij}]_{m\times n} [aij]m×n称为 A A A的转置矩阵记为 A T A^T AT即若 A [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] 则 A T [ a 11 a 21 ⋯ a m 1 a 12 a 22 ⋯ a m 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a m n ] A\left[\begin{matrix} a_{11} a_{12} \cdots a_{1n}\\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2n}\\ \vdots \vdots \vdots \vdots\\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn}\\ \end{matrix}\right]则A^T\left[\begin{matrix} a_{11} a_{21} \cdots a_{m1}\\ a_{12} a_{22} \cdots a_{m2}\\ \vdots \vdots \vdots \vdots\\ a_{1n} a_{2n} \cdots a_{mn}\\ \end{matrix}\right] A a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn 则AT a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋮⋯am1am2⋮amn
定义矩阵多项式 设 A A A是 n n n阶矩阵 f ( x ) a m x m ⋯ a 1 x a 0 f(x)a_mx^m\cdotsa_1xa_0 f(x)amxm⋯a1xa0是 x x x的多项式则称 a m A m a m − 1 A m − 1 ⋯ a 1 A a 0 E a_mA^ma_{m-1}A^{m-1}\cdotsa_1Aa_0E amAmam−1Am−1⋯a1Aa0E 为矩阵多项式记为 f ( A ) f(A) f(A) 运算法则
1、加法 ABC是同型矩阵则 A B B A 交换律 ( A B ) C A ( B C ) 结合律 A O A 其中 O 是元素全为零的同型矩阵 A ( − A ) O ABBA\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 交换律\\ \quad \\ (AB)CA(BC)\quad \quad \quad 结合律\\ \quad \\ \quad \quad \quad \quad AOA\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad其中O是元素全为零的同型矩阵\\ \quad \\ A(-A)O\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad\quad \quad ABBA交换律(AB)CA(BC)结合律AOA其中O是元素全为零的同型矩阵A(−A)O 2、数乘矩阵 k ( m A ) ( k m ) A m ( k A ) ; ( k m ) A k A m A k ( A B ) k A k B ; 1 A A ; 0 A O k(mA)(km)Am(kA);\\ \quad \\ (km)AkAmA\quad\quad \\ \quad \\ k(AB)kAkB;1AA;0AO k(mA)(km)Am(kA);(km)AkAmAk(AB)kAkB;1AA;0AO
3、乘法 ABC满足运算条件时 ( A B ) C A ( B C ) A ( B C ) A B A C ( B C ) A B A C A (AB)CA(BC)\\ \quad \\ A(BC)ABAC \\ \quad \\ (BC)ABACA (AB)CA(BC)A(BC)ABAC(BC)ABACA 4、转置 ( A B ) T A T B T ; ( k A ) T k A T ( A B ) T B T A T ( A T ) T A (AB)^TA^TB^T;\\ \quad \\ (kA)^TkA^T\\ \quad \\ (AB)^TB^TA^T\\ \quad \\ (A^T)^TA (AB)TATBT;(kA)TkAT(AB)TBTAT(AT)TA 练习1若 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] − X [ 1 2 0 ] [ 2 0 − 1 ] 3 [ 1 0 0 2 2 0 3 3 3 ] \left[\begin{matrix} 1 2 3\\ 4 5 6\\ 7 8 9\\ \end{matrix}\right]-X\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 20-1\\ \end{matrix}\right]3\left[\begin{matrix} 1 0 0\\ 2 2 0\\ 3 3 3\\ \end{matrix}\right] 147258369 −X 120 [20−1]3 123023003 则 X X X 解 依据同型函数的交换律可得 [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] − 3 [ 1 0 0 2 2 0 3 3 3 ] [ 1 2 0 ] [ 2 0 − 1 ] X X [ 1 − 3 2 3 4 − 6 5 − 6 6 7 − 9 8 − 9 9 − 9 ] [ 2 0 − 1 4 0 − 2 0 0 0 ] [ 0 2 2 2 − 1 4 − 2 − 1 0 ] 依据同型函数的交换律可得\\ \quad \\ \left[\begin{matrix} 1 2 3\\ 4 5 6\\ 7 8 9\\ \end{matrix}\right]-3\left[\begin{matrix} 1 0 0\\ 2 2 0\\ 3 3 3\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1\\ 2\\ 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 20-1\\ \end{matrix}\right]X\\ \quad \\ X\left[\begin{matrix} 1-3 2 3\\ 4 -6 5-6 6\\ 7-9 8-9 9-9\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2 0 -1\\ 4 0 -2\\ 0 0 0\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0 2 2\\ 2 -1 4\\ -2 -1 0\\ \end{matrix}\right] 依据同型函数的交换律可得 147258369 −3 123023003 120 [20−1]XX 1−34−67−925−68−9369−9 240000−1−20 02−22−1−1240 练习2设 A [ 1 0 0 − 1 ] B [ 1 2 3 4 ] A\left[\begin{matrix} 1 0\\ 0 -1\\ \end{matrix}\right]B\left[\begin{matrix} 1 2\\ 3 4\\ \end{matrix}\right] A[100−1]B[1324]则 1 、 A B − B A ? 2 、 ( A B ) 2 ? 3 、 A 2 B 2 ? 1、AB-BA?\quad \quad \\ \quad \\ 2、(AB)^2?\quad\quad\quad\\ \quad \\ 3、A^2B^2?\quad\quad\quad 1、AB−BA?2、(AB)2?3、A2B2? 解-1 A B − B A [ 1 0 0 − 1 ] [ 1 2 3 4 ] − [ 1 2 3 4 ] [ 1 0 0 − 1 ] [ 1 2 − 3 − 4 ] − [ 1 − 2 3 − 4 ] [ 0 4 − 6 0 ] AB-BA\left[\begin{matrix} 1 0\\ 0 -1\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 2\\ 3 4\\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 1 2\\ 3 4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 0\\ 0 -1\\ \end{matrix}\right]\\ \quad \\ \left[\begin{matrix} 1 2\\ -3 -4\\ \end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix} 1 -2\\ 3 -4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0 4\\ -6 0\\ \end{matrix}\right] AB−BA[100−1][1324]−[1324][100−1][1−32−4]−[13−2−4][0−640] 解-2 ( A B ) 2 [ 1 2 − 3 − 4 ] [ 1 2 − 3 − 4 ] [ − 5 − 6 9 10 ] (AB)^2\left[\begin{matrix} 1 2\\ -3 -4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 2\\ -3 -4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} -5 -6\\ 9 10\\ \end{matrix}\right] (AB)2[1−32−4][1−32−4][−59−610] 解-3 A 2 B 2 [ 1 0 0 1 ] [ 1 2 3 4 ] [ 1 2 3 4 ] [ 7 10 15 22 ] A^2B^2\left[\begin{matrix} 1 0\\ 0 1\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 2\\ 3 4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 2\\ 3 4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 7 10\\ 15 22\\ \end{matrix}\right] A2B2[1001][1324][1324][7151022] 练习3 方程组 { x 1 2 x 2 − x 3 4 4 2 2 x 1 − x 2 x 3 x 4 1 x 1 7 x 2 − 4 x 3 11 x 4 5 \begin{cases}x_12x_2-x_34_42 \\ \quad \\ 2x_1-x_2x_3x_41 \\ \quad \\ x_17x_2-4x_311x_45\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x12x2−x34422x1−x2x3x41x17x2−4x311x45用矩阵表示 解 [ 1 2 − 1 4 2 − 1 1 1 1 7 − 4 11 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] [ 2 1 5 ] \left[\begin{matrix} 1 2-14\\ 2-111\\ 1 7-411\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2\\ 1\\ 5\\ \end{matrix}\right] 1212−17−11−44111 x1x2x3x4 215 若记 A [ 1 2 − 1 4 2 − 1 1 1 1 7 − 4 11 ] A\left[\begin{matrix} 1 2-14\\ 2-111\\ 1 7-411\\ \end{matrix}\right] A 1212−17−11−44111 称为方程组系数矩阵未知数 x [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] T x[x_1,x_2,x_3,x_4]^T x[x1,x2,x3,x4]T,常数项 b [ 2 , 1 , 5 ] T b[2,1,5]^T b[2,1,5]T,则方程组表示为 A x b Axb Axb 如果对系数矩阵 A A A按列分块记为 A [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] A[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4] A[α1,α2,α3,α4] 由分块矩阵乘法有 [ α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] b [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]\left[\begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{matrix}\right]b [α1,α2,α3,α4] x1x2x3x4 b得 x 1 α 1 x 2 α 2 x 3 α 3 x 4 α 4 b x_1\alpha_1x_2\alpha_2x_3\alpha_3x_4\alpha_4b x1α1x2α2x3α3x4α4b 非齐次方程 A ≠ 0 A\ne0 A0有唯一解 齐次方程 A ≠ 0 A\ne 0 A0只有零解 A 0 A0 A0有非零解 常见的矩阵
设 A A A是 n n n阶矩阵 单位阵主对角线元素为1其余元素为0的矩阵称为单位阵记为 E n \Epsilon_n En 数量阵数k与单位阵 E \Epsilon E的积 k E k\Epsilon kE称为数量阵。 对角阵非对角元素都是0的矩阵即 ∀ i ≠ j \forall i\ne j ∀ij恒有 a i j 0 a_{ij}0 aij0称为对角阵记为 Λ , Λ d i a g [ a 1 , a 2 , ⋯ , a n ] \Lambda,\Lambdadiag[a_1,a_2,\cdots,a_n] Λ,Λdiag[a1,a2,⋯,an] 上(下)三角阵当 i j ( i j ) ij(ij) ij(ij)时有 a i j 0 a_{ij}0 aij0的矩阵称为上(下)三角阵 对称矩阵满足 A T A A^TA ATA即 a i j a j i a_{ij}a_{ji} aijaji的矩阵称为对称阵。 反对称阵满足 A T − A A^T-A AT−A即 a i j − a j i a i i 0 a_{ij}-a_{ji}a_{ii}0 aij−ajiaii0的矩阵称为反对称阵。
