网站建设合同书封皮,广东省住房和城乡建设厅官网网址,网站建设冷色调,网页设计教程ps【CFD小工坊】浅水模型的边界条件 前言处理边界条件的原则边界处水力要素的计算水位边界条件单宽流量边界条件流量边界条件固壁边界条件 参考文献 前言
在浅水方程的离散及求解方法一篇中#xff0c;我们学习了三角形网格各边通量值及源项的求解。但仍有一个问题没有解决我们学习了三角形网格各边通量值及源项的求解。但仍有一个问题没有解决对于边界处的网格模型边界对应的网格边的通量求解。 对此我们借鉴王志力1的研究学习各类边界条件下网格边的通量的求解。
处理边界条件的原则
对于浅水水域常见的边界有水位边界与流量边界。在此我们假设网格 i i i的第 j j j条边对应了模型的边界设边界上的水位为 h i j ∗ h_{ij}^* hij∗垂直外法线方向和平行网格边的流速为 u ~ i j ∗ \tilde{u}_{ij}^* u~ij∗和 v ~ i j ∗ \tilde{v}_{ij}^* v~ij∗。为简便起见以下我们将 h i j ∗ h_{ij}^* hij∗简记为 h ∗ h^* h∗将 u ~ i j ∗ \tilde{u}_{ij}^* u~ij∗和 v ~ i j ∗ \tilde{v}_{ij}^* v~ij∗简记为 u ~ L ∗ \tilde{u}_L^* u~L∗和 v ~ L ∗ \tilde{v}_L^* v~L∗ 根据一维方程的特征线理论沿着特征线方向有特征不变量最终会得到如下关系 u ~ L ∗ 2 c L u ∗ 2 c ∗ \tilde{u}_L^*2c_L u^* 2c^* u~L∗2cLu∗2c∗ 上式即确定边界条件时所要满足的原则。其中 c L g h L c_L\sqrt{gh_L} cLghL c ∗ g h ∗ c^*\sqrt{gh^*} c∗gh∗ 。
边界处水力要素的计算
在模型中边界处的水力要素的计算步骤如下
根据笛卡尔坐标系下边界处的 u L u_L uL和 v L v_L vL转化为网格边界外法线方向和切向的 u ~ L ∗ \tilde{u}_L^* u~L∗和 v ~ L ∗ \tilde{v}_L^* v~L∗。给定边界处的 u ∗ u^* u∗或 h ∗ h^* h∗。此处的 u ∗ u^* u∗值可通过流量边界条件转化而来。根据式 u ~ L ∗ 2 c L u ∗ 2 c ∗ \tilde{u}_L^*2c_L u^* 2c^* u~L∗2cLu∗2c∗来确定网格边上的其它变量。例如对于水位条件 h ∗ h^* h∗已知我们需要通过上式确定 u ∗ u^* u∗。根据浅水方程的对流项确定通量值。
水位边界条件
对于边界条件 h ∗ h^* h∗已知则 u ∗ u ~ L ∗ 2 c L − 2 c ∗ u ~ L ∗ 2 g h L − 2 g h ∗ u^* \tilde{u}_L^*2c_L - 2c^*\tilde{u}_L^* 2\sqrt{gh_L} -2\sqrt{gh^*} u∗u~L∗2cL−2c∗u~L∗2ghL −2gh∗ 之后将局部坐标系的 u ∗ u^* u∗和 v ∗ v^* v∗转化为全局笛卡尔坐标系下的 u b u_b ub和 v b v_b vb记 h b h ∗ h_bh^* hbh∗。则边界处的通量为 ( F n ) b E ( U b ) n x G ( U b ) n y n x ( h u b h u b 2 g h b 2 2 h u b v b ) n y ( h v b z h u b v b h v b 2 g h b 2 2 ) (\bold{F}_n)_b \bold{E(U_b)} n_x \bold{G(U_b)} n_y n_x \left( \begin{matrix} hu_b \\ hu_b^2\dfrac{gh_b^2}{2} \\ hu_b v_b \end{matrix} \right) n_y \left( \begin{matrix} hv_bz \\ hu_b v_b \\ hv_b^2\dfrac{gh_b^2}{2} \end{matrix} \right) (Fn)bE(Ub)nxG(Ub)nynx hubhub22ghb2hubvb ny hvbzhubvbhvb22ghb2 式中 ( n x , n y ) (n_x, n_y) (nx,ny)表示边界处外法线方向。
单宽流量边界条件
给定网格边的单宽流量 q h ∗ u ∗ qh^*u^* qh∗u∗则有 u ~ L ∗ 2 c L u ∗ 2 c ∗ q h ∗ 2 g h ∗ q c ∗ 2 / g 2 g h ∗ \tilde{u}_L^*2c_L u^* 2c^* \dfrac{q}{h^*} 2\sqrt{gh^*} \dfrac{q}{{c^*}^2/g} 2\sqrt{gh^*} u~L∗2cLu∗2c∗h∗q2gh∗ c∗2/gq2gh∗ 化简后上述方程为 c ∗ c^* c∗的一元三次方程 2 c ∗ 3 − ( u L 2 g h L ) c ∗ 2 − g q 0 2{c^*}^3 - (u_L 2\sqrt{gh_L}){c^*}^2 - gq 0 2c∗3−(uL2ghL )c∗2−gq0 求解后可得 h ∗ c ∗ 2 / g h^*{c^*}^2/g h∗c∗2/g。同理我们可求得 h b h_b hb、 u b u_b ub和 v b v_b vb以及通量 ( F n ) b (\bold{F}_n)_b (Fn)b。 注意在设置边界时我们需要设定单宽流量的方向对于入流边界单宽流量方向与边界外法线方向相反则 q 0 q0 q0反之对于出流边界 q 0 q0 q0。
流量边界条件
若流量给定在一个网格的边上我们可以先求该边界的单宽流量 q q q之后按照上一小节等同的办法处理边界。若指定的边界条件涉及到m条连续的网格边如下图边界蓝色边所示组需要先求出每个对应网格边的单宽流量之后再按单宽流量边界条件处理方法进行计算。 对于这m条边界上的总流量 Q Q Q某一网格 i i i边上的单宽流量 q i q_i qi是 q i L i ′ h i 1.5 C i ∑ k 1 m L k ′ h k 1.5 C k Q q_i \dfrac{L_i h_i^{1.5}C_i}{\sum^{m}_{k1} L_k h_k^{1.5}C_k} Q qi∑k1mLk′hk1.5CkLi′hi1.5CiQ 式中 L ′ L L′表示流量边界对应网格边的边长 h h h表示对应网格的水深 C C C表示对应网格的摩阻力项有 C h 1 / 6 n C \dfrac{h^{1/6}}{n} Cnh1/6n为曼宁系数。 之后根据求出的单款流量依次处理每个边界网格的通量值。
固壁边界条件
在静止的固壁边界上我们采用无滑移边界条件即 u b u_b ub和 v b v_b vb均为0故 ( F n ) b ( 0 g h L 2 2 n x g h L 2 2 n y ) (\bold{F}_n)_b \left( \begin{matrix} 0 \\ \dfrac{gh_L^2}{2}n_x \\ \dfrac{gh_L^2}{2}n_y \end{matrix} \right) (Fn)b 02ghL2nx2ghL2ny
参考文献 王志力. 基于Godunov和Semi-Lagrangian法的二、三维浅水方程的非结构化网格离散研究[D]. 辽宁:大连理工大学,2005. ↩︎
