可以不使用备案的网站名吗,张店区网站建设特点有哪些 谢谢,怎么通过做网站来赚钱吗,做网站费免图片网站文章目录 引言一、二维随机变量及分布1.1 基本概念1.2 联合分布函数的性质 二、二维离散型随机变量及分布三、多维连续型随机变量及分布3.1 基本概念3.2 二维连续型随机变量的性质 写在最后 引言
隔了好长时间没看概率论了#xff0c;上一篇文章还是 8.29 #xff0c;快一个… 文章目录 引言一、二维随机变量及分布1.1 基本概念1.2 联合分布函数的性质 二、二维离散型随机变量及分布三、多维连续型随机变量及分布3.1 基本概念3.2 二维连续型随机变量的性质 写在最后 引言
隔了好长时间没看概率论了上一篇文章还是 8.29 快一个月了。主要是想着高数做到多元微分和二重积分题目再来看这个概率论二维的来更好理解。不过没想到内容太多了到现在也只到二元微分的进度。 一、二维随机变量及分布
1.1 基本概念
定义 1 —— 二维随机变量。设 X , Y X,Y X,Y 为定义于同一样本空间上的两个随机变量称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量。同理也有 n n n 维随机变量的定义。
定义 2 —— 二维随机变量的分布函数。
1设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量对任意的 x , y ∈ R x,y\in R x,y∈R 称 F ( x , y ) P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)P{X≤x,Y≤y} 为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合分布函数。
2称函数 F X ( x ) P { X ≤ x } , F Y ( y ) P { Y ≤ y } F_X(x)P\{X\leq x\},F_Y(y)P\{Y\leq y\} FX(x)P{X≤x},FY(y)P{Y≤y} 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘分布函数。同理有 n n n 维随机变量的联合分布函数以及边缘分布函数。
1.2 联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为其联合分布函数有如下性质
1 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 ; 0 \leq F(x,y) \leq 1; 0≤F(x,y)≤1;
2 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 对 x , y x,y x,y 都是单调不减函数
3 F ( x ) F(x) F(x) 关于 x , y x,y x,y 都是右连续
4 F ( − ∞ , − ∞ ) 0 F ( − ∞ , ∞ ) F ( ∞ , − ∞ ) 0 , F ( ∞ , ∞ ) 1. F(-\infty,-\infty)0F(-\infty,\infty)F(\infty,-\infty)0,F(\infty,\infty)1. F(−∞,−∞)0F(−∞,∞)F(∞,−∞)0,F(∞,∞)1. 其实和一维随机变量的分布函数的性质大差不差的我也是从一维那里复制过来改了下的hhh。 以下是一些推论
1设 { X ≤ x } A , { Y ≤ y } B \{X\leq x\}A,\{Y\leq y\}B {X≤x}A,{Y≤y}B 则 F ( x , y ) P ( A B ) , F X ( x ) P ( A ) , F Y ( y ) P ( B ) . F(x,y)P(AB),F_X(x)P(A),F_Y(y)P(B). F(x,y)P(AB),FX(x)P(A),FY(y)P(B). 即联合分布函数是要取交集。
2 F X ( x ) F ( x , ∞ ) , F Y ( y ) F ( ∞ , y ) . F_X(x)F(x,\infty),F_Y(y)F(\infty,y). FX(x)F(x,∞),FY(y)F(∞,y). 即当一个变量限制在小于正无穷范围这是肯定的当然此时联合分布函数和边缘分布函数一致了。
3设 a 1 a 2 , b 1 b 2 a_1a_2,b_1b_2 a1a2,b1b2 则 P { a 1 X ≤ a 2 , b 1 Y ≤ b 2 } P { a 1 X ≤ a 2 , Y ≤ b 2 } − P { a 1 X ≤ a 2 , Y ≤ b 1 } ( P { X ≤ a 2 , Y ≤ b 2 } − P { X ≤ a 1 , Y ≤ b 2 } ) − ( P { X ≤ a 2 , Y ≤ b 1 } − P { X ≤ a 1 , Y ≤ b 1 } ) F ( a 2 , b 2 ) − F ( a 1 , b 2 ) − F ( a 2 , b 1 ) F ( a 1 , b 1 ) . P\{a_1 X\leq a_2,b_1 Y \leq b_2\}P\{a_1 X\leq a_2,Y\leq b_2\}-P\{a_1 X\leq a_2,Y \leq b_1\}(P\{X \leq a_2,Y\leq b_2\}-P\{X \leq a_1,Y\leq b_2\})-(P\{X \leq a_2,Y\leq b_1\}-P\{X\leq a_1,Y\leq b_1\})\pmb{F(a_2,b_2)-F(a_1,b_2)-F(a_2,b_1)F(a_1,b_1)}. P{a1X≤a2,b1Y≤b2}P{a1X≤a2,Y≤b2}−P{a1X≤a2,Y≤b1}(P{X≤a2,Y≤b2}−P{X≤a1,Y≤b2})−(P{X≤a2,Y≤b1}−P{X≤a1,Y≤b1})F(a2,b2)−F(a1,b2)−F(a2,b1)F(a1,b1). 二、二维离散型随机变量及分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的可能取值为有限对或可列对称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维离散型随机变量。
设随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的可能取值为 ( x i , y j ) ( i 1 , 2 , ⋯ , m ; j 1 , 2 , ⋯ , n ) (x_i,y_j)(i1,2,\cdots,m;j1,2,\cdots,n) (xi,yj)(i1,2,⋯,m;j1,2,⋯,n) 称 P { X ≤ x i , Y ≤ y j } p i j ( i 1 , 2 , ⋯ , m ; j 1 , 2 , ⋯ , n ) , 或 P\{X\leq x_i,Y\leq y_j\}p_{ij}(i1,2,\cdots,m;j1,2,\cdots,n),或 P{X≤xi,Y≤yj}pij(i1,2,⋯,m;j1,2,⋯,n),或
为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合分布律。其具有如下性质 p i j ≥ 0 ( i 1 , 2 , ⋯ , m ; j 1 , 2 , ⋯ , n ) ; p_{ij}\geq 0(i1,2,\cdots,m;j1,2,\cdots,n); pij≥0(i1,2,⋯,m;j1,2,⋯,n); ∑ ∑ p i j 1. \sum\sum p_{ij}1. ∑∑pij1.
由全概率公式有 P { X x i } P { X x i , y 1 } ⋯ P { X x i , y n } p i 1 ⋯ p i , n p i ( i 1 , 2 , ⋯ , m ) . P\{Xx_i\}P\{Xx_i,y_1\}\cdotsP\{Xx_i,y_n\}p_{i1}\cdotsp_{i,n}p_i(i1,2,\cdots,m). P{Xxi}P{Xxi,y1}⋯P{Xxi,yn}pi1⋯pi,npi(i1,2,⋯,m). 同理可以得到 P { Y y i } P\{Y y_i\} P{Yyi} 。于是联合分布律每一行每一列之和即可构成两个随机变量的边缘分布律。 一般情况下联合分布律和边缘分布律可以放在一张表格中 三、多维连续型随机变量及分布
3.1 基本概念
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维随机变量其分布函数为 F ( x , y ) P { X ≤ x , Y ≤ y } F(x,y)P\{X\leq x,Y\leq y\} F(x,y)P{X≤x,Y≤y} 若存在非负可积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 使得 F ( x , y ) ∫ − ∞ x d u ∫ − ∞ y f ( u , v ) d v F(x,y)\int_{-\infty}^xdu\int_{-\infty}^yf(u,v)dv F(x,y)∫−∞xdu∫−∞yf(u,v)dv 称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合密度函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为联合分布函数。
称 f X ( x ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y , f Y ( y ) ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d x f_X(x)\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy,f_Y(y)\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx fX(x)∫−∞∞f(x,y)dy,fY(y)∫−∞∞f(x,y)dx 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘密度函数。
称 F X ( x ) ∫ − ∞ x f X ( x ) d x , F Y ( y ) ∫ − ∞ y f Y ( y ) d y F_X(x)\int_{-\infty}^xf_X(x)dx,F_Y(y)\int_{-\infty}^yf_Y(y)dy FX(x)∫−∞xfX(x)dx,FY(y)∫−∞yfY(y)dy 分别为随机变量 X , Y X,Y X,Y 的边缘分布函数。
同理以上结论可推广到 n n n 维。
3.2 二维连续型随机变量的性质
设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为二维随机变量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 的联合密度函数则 f ( x , y ) ≥ 0 ; f(x,y)\geq 0; f(x,y)≥0; ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) d y 1. \int_{-\infty}^\infty dx\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy1. ∫−∞∞dx∫−∞∞f(x,y)dy1.
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 为二维连续型随机变量 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为其联合密度函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 为其联合分布函数。若 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 在某点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 处二阶可偏导有 f ( x , y ) ∂ F ∂ x ∂ y ; f(x,y)\frac{\partial F}{\partial x \partial y}; f(x,y)∂x∂y∂F; 若在某点处二阶不可偏导则 f ( x , y ) 0 f(x,y)0 f(x,y)0 。
二阶联合分布函数一定连续但不一定二阶可偏导。 写在最后
果然先去看看多元微分和多重积分看这个就较为轻松。
