网站建设罒金手指下拉壹陆,手机网站如何建立,工商局网站做年报,受雇去建设网站类网站文章目录 前言曲率和曲率半径的定义曲率计算公式参数方程形式直角坐标显式方程形式极坐标形式向量形式 前言
本文将介绍二维平面光滑曲线的曲率定义以及不同形式的曲率及曲率半径公式的推导。
曲率和曲率半径的定义
#xff08;关于二维平面光滑曲线的定义以及弧长公式请参… 文章目录 前言曲率和曲率半径的定义曲率计算公式参数方程形式直角坐标显式方程形式极坐标形式向量形式 前言
本文将介绍二维平面光滑曲线的曲率定义以及不同形式的曲率及曲率半径公式的推导。
曲率和曲率半径的定义
关于二维平面光滑曲线的定义以及弧长公式请参考一元函数定积分的几何应用二维平面光滑曲线弧长公式的推导
对一条光滑曲线上 l l l上的一个曲线段 A B ⌢ \mathop{AB}\limits^ \frown AB⌢, 我们用 A A A点的切线 τ A \tau_A τA与 B B B点的切线 τ B \tau_B τB之间的夹角 Δ φ \Delta \varphi Δφ来刻画这一段曲线的弯曲程度。当 A B ⌢ \mathop{AB}\limits^ \frown AB⌢的弧长 Δ s \Delta s Δs固定时若切线的夹角越大则曲线的弯曲程度越大。因此我们将曲线段 A B ⌢ \mathop{AB}\limits^ \frown AB⌢的平均曲率定义如下 K ‾ ∣ Δ φ Δ s ∣ \begin{equation} \overline{K}\left| \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right| \end{equation} K ΔsΔφ
平均曲率刻画了曲线段 A B ⌢ \mathop{AB}\limits^ \frown AB⌢的平均弯曲程度。当 A , B A,B A,B两点越接近即 Δ s \Delta s Δs越小平均曲率则越能精确刻画光滑曲线 l l l在 A A A点的弯曲程度因此我们定义在某一个点上的曲率为 K lim Δ s → 0 ∣ Δ φ Δ s ∣ ∣ d φ d s ∣ \begin{equation} K\lim_{\Delta s \rightarrow 0}\left| \dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right|\left|\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} s}\right| \end{equation} KΔs→0lim ΔsΔφ dsdφ
若光滑曲线上某一点的曲率不为零则我们定义该点曲率的倒数为曲线在该点的曲率半径 R 1 K \begin{equation} R\dfrac{1}{K} \end{equation} RK1
曲率计算公式
参数方程形式
设光滑曲线由参数方程 { x x ( t ) , y y ( t ) , t ∈ [ T 1 , T 2 ] \begin{cases}xx(t), \\ yy(t),\end{cases} t\in [T_1,T_2] {xx(t),yy(t),t∈[T1,T2] 来确定且 x ( t ) , y ( t ) x(t),y(t) x(t),y(t)存在二阶导数则曲线上点的切线斜率为 d y d x y ′ ( t ) x ′ ( t ) tan φ \begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\dfrac{y(t)}{x(t)}\tan{\varphi} \end{equation} dxdyx′(t)y′(t)tanφ
其中 φ \varphi φ是切线与 x x x轴的夹角。将 φ \varphi φ对 t t t求导可以得到 d φ d t d d t arctan ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) 1 1 [ y ′ ( t ) x ′ ( t ) ] 2 ⋅ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 2 ( t ) x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 2 ( t ) y ′ 2 ( t ) \begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \arctan\left(\dfrac{y(t)}{x(t)}\right) \dfrac{1}{1\left[\dfrac{y(t)}{x(t)}\right]^2} \cdot\dfrac{x(t)y(t)-x(t)y(t)}{{x}^2(t)} \dfrac{x(t)y(t)-x(t)y(t)}{{x}^2(t){y}^2(t)} \end{equation} dtdφdtdarctan(x′(t)y′(t))1[x′(t)y′(t)]21⋅x′2(t)x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)x′2(t)y′2(t)x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)
根据弧长的微分公式我们可以得到 d s d t x ′ 2 ( t ) y ′ 2 ( t ) \begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\sqrt{{x}^2(t){y}^2(t)} \end{equation} dtdsx′2(t)y′2(t)
因此该点的曲率为 K ∣ d φ d s ∣ ∣ d φ d t d s d t ∣ ∣ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) ∣ [ x ′ 2 ( t ) y ′ 2 ( t ) ] 3 2 \begin{equation} K\left|\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right|\left| \dfrac{\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}}{\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\right|\dfrac{\left|x(t)y(t)-x(t)y(t)\right|}{[{x}^2(t){y}^2(t)]^{\frac{3}{2}}} \end{equation} K dsdφ dtdsdtdφ [x′2(t)y′2(t)]23∣x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)∣
直角坐标显式方程形式
若曲线由 y f ( x ) , x ∈ [ a , b ] yf(x), x\in[a,b] yf(x),x∈[a,b]表示且 y y y存在二阶导数则曲线上某一点的斜率为 tan φ y ′ \begin{equation} \tan{\varphi}y \end{equation} tanφy′
则夹角的微分为 d φ y ′ ′ 1 y ′ 2 d x \begin{equation} \mathrm{d}\varphi\dfrac{y}{1{y}^2}\mathrm{d}x \end{equation} dφ1y′2y′′dx
弧长的微分为 d s 1 y ′ 2 d x \begin{equation} \mathrm{d}s\sqrt{1{y}^2}\mathrm{d}x \end{equation} ds1y′2 dx
因此相应的曲率计算公式为 K ∣ d φ d s ∣ ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 y ′ 2 ) 3 2 \begin{equation} K\left|\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s}\right|\dfrac{|y|}{(1{y}^2)^{\frac{3}{2}}} \end{equation} K dsdφ (1y′2)23∣y′′∣
极坐标形式
假设曲线的极坐标方程为 r r ( θ ) , θ ∈ [ α , β ] ⊂ [ 0 , 2 π ] rr(\theta), \theta \in [\alpha, \beta]\subset[0, 2\pi] rr(θ),θ∈[α,β]⊂[0,2π]且 r r r二阶可导。则点 ( r , θ ) (r, \theta) (r,θ)处的直角坐标为 x ( θ ) r cos θ , y ( θ ) r sin θ x ′ ( θ ) r ′ cos θ − r sin θ , y ′ ( θ ) r ′ sin θ r cos θ x ′ ′ ( θ ) r ′ ′ ( θ ) cos θ − 2 r ′ sin θ − r cos θ y ′ ′ ( θ ) r ′ ′ sin θ 2 r ′ cos θ − r sin θ \begin{align} x(\theta)r\cos{\theta}, y(\theta)r\sin{\theta} \\ x(\theta)r\cos{\theta}-r\sin{\theta}, y(\theta)r\sin{\theta}r\cos{\theta} \\ x(\theta)r(\theta)\cos{\theta}-2r\sin{\theta}-r\cos{\theta} \\ y(\theta)r\sin{\theta}2r\cos{\theta}-r\sin{\theta} \end{align} x(θ)rcosθ,y(θ)rsinθx′(θ)r′cosθ−rsinθ,y′(θ)r′sinθrcosθx′′(θ)r′′(θ)cosθ−2r′sinθ−rcosθy′′(θ)r′′sinθ2r′cosθ−rsinθ
将上面的式子全部带入 ( 7 ) (7) (7)式此时将 θ \theta θ视为参数化简后就得到了极坐标下的曲率公式 K ∣ r 2 2 r ′ 2 − r r ′ ′ ∣ ( r 2 r ′ 2 ) 3 2 \begin{equation} K\dfrac{|r^22{r}^2-rr|}{(r^2{r}^2)^{\frac{3}{2}}} \end{equation} K(r2r′2)23∣r22r′2−rr′′∣
向量形式
我们定义二维平面光滑曲线上任意一点的向量为 r ( x ( t ) , y ( t ) ) \boldsymbol{r}(x(t),y(t)) r(x(t),y(t))则 ( 7 ) (7) (7)式可以改写成 K ∣ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) ∣ [ x ′ 2 ( t ) y ′ 2 ( t ) ] 3 2 ∣ r ′ × r ′ ′ ∣ ∣ r ′ ∣ 3 \begin{equation} K\dfrac{\left|x(t)y(t)-x(t)y(t)\right|}{[{x}^2(t){y}^2(t)]^{\frac{3}{2}}}\dfrac{|\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{r}|}{|\boldsymbol{r}|^3} \end{equation} K[x′2(t)y′2(t)]23∣x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)∣∣r′∣3∣r′×r′′∣
此即向量形式的曲率公式。
