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一棵二叉树是结点的一个有限集合#xff0c;该集合#xff1a; 1. 或者为空 2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图我们可以发现#xff1a;
1.二叉树不存在大于2 的度
2.二叉树的子树有左右之分#xff0c;次序不能颠倒。是有…1.概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合 1. 或者为空 2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图我们可以发现
1.二叉树不存在大于2 的度
2.二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒。是有序树 任意二叉树都是由上图构成的
2.两种特殊的二叉树 2.1.满二叉树 如果一棵二叉树每层的节点都达到最大值则我们称这颗二叉树为满二叉树。
如果一棵二叉树的层数为K且结点总数是2^k-1 则它就是满二叉树。 2.2完全二叉树 完全二叉树是效率很高的数据结构完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
3.二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^i-1(i0)个结点 2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k-1(k0) 3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0n21 4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n1)上取整 5. 对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i 的结点有 若i0双亲序号(i-1)/2i0i为根结点编号无双亲结点 若2i1n左孩子序号2i1否则无左孩子 若2i2n右孩子序号2i2否则无右孩子 4.二叉树的存储 二叉树的存储分为顺序存储和链式存储
我将在下一篇博客中给大家介绍顺序存储我们先来看看链式存储
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的常见的表示方式有二叉和三叉表示方式具体如下
// 孩子表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树} // 孩子双亲表示法class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点}
5.二叉树的基本操作 为了方便大家理解这里我先手动快速创建一颗二叉树
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static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;TreeNode(char val) {this.val val;}}public TreeNode create(){TreeNode A new TreeNode(A);TreeNode B new TreeNode(B);TreeNode C new TreeNode(C);TreeNode D new TreeNode(D);TreeNode E new TreeNode(E);TreeNode F new TreeNode(F);TreeNode G new TreeNode(G);TreeNode H new TreeNode(H);A.leftB;A.rightC;B.leftD;B.rightE;E.rightH;C.leftF;C.rightG;return A;}
再看二叉树基本操作前再回顾下二叉树的概念二叉树是 1. 空树 2. 非空根节点根节点的左子树、根节点的右子树组成的 从概念中可以看出二叉树定义是递归式的因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
5.1 二叉树的遍历
1. 前中后序遍历 学习二叉树结构最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一是二叉树上进行其它运算之基础。 在遍历二叉树时如果没有进行某种约定每个人都按照自己的方式遍历得出的结果就比较混乱如果按照某种规则进行约定则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点L代表根节点的左子树R代表根节点的右子树则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式 NLR前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点---根的左子树---根的右子树。 LNR中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树---根节点---根的右子树。 LRN后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树---根的右子树---根节点
// 前序遍历void preOrder(TreeNode root){if(root null){return;}System.out.print(root.val );preOrder(root.left);preOrder(root.right);};// 中序遍历void inOrder(TreeNode root){if(root null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val );inOrder(root.right);};// 后序遍历void postOrder(TreeNode root){if(root null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val );}
2. 层序遍历 层序遍历除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在 层数为1层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发首先访问第一层的树根节点然后从左到右访问第2层 上的节点接着是第三层的节点以此类推自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
5. 二叉树的基本操作
public class BinaryTree {static class TreeNode {public char val;public TreeNode left;public TreeNode right;TreeNode(char val) {this.val val;}}public TreeNode create(){TreeNode A new TreeNode(A);TreeNode B new TreeNode(B);TreeNode C new TreeNode(C);TreeNode D new TreeNode(D);TreeNode E new TreeNode(E);TreeNode F new TreeNode(F);TreeNode G new TreeNode(G);TreeNode H new TreeNode(H);TreeNode g new TreeNode(g);A.leftB;A.rightC;B.leftD;B.rightE;E.rightH;C.leftF;C.rightG;return A;}// 前序遍历void preOrder(TreeNode root){if(root null){return;}System.out.print(root.val );preOrder(root.left);preOrder(root.right);};// 中序遍历void inOrder(TreeNode root){if(root null){return;}inOrder(root.left);System.out.print(root.val );inOrder(root.right);};// 后序遍历void postOrder(TreeNode root){if(root null){return;}postOrder(root.left);postOrder(root.right);System.out.print(root.val );}public int size;// 获取树中节点的个数int size(TreeNode root){if(root null){return 0;}int leftSize size(root.left);int rightSize size(root.right);return leftSizerightSize1;}// 获取叶子节点的个数int getLeafNodeCount;int getLeafNodeCount(TreeNode root){if(root null){return 0;}if(root.left null root.right null){return 1;}int leftSize getLeafNodeCount(root.left);int rightSizegetLeafNodeCount(root.right);return leftSizerightSize;}// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){if(root null ){return 0;}if(k 1){return 1;}int leftSize getKLevelNodeCount(root.left,k-1);int rightSize getKLevelNodeCount(root.right,k-1);return leftSizerightSize;}// 获取二叉树的高度int getHeight(TreeNode root){if(root null){return 0;}if(root.left null root.right null){return 1;}int leftSize getHeight(root.left);int rightSize getHeight(root.right);return (Math.max(leftSize, rightSize)) 1 ;}// 检测值为value的元素是否存在TreeNode find(TreeNode root, char val){if(root null){return root;}if(root.val val){return root;}TreeNode left find(root.left,val);if(left !null){return left;}TreeNode right find(root.right,val);if(right ! null){return right;}return null;}
}
