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核心思想函数逼近
在泰勒的年代如果想算出e的0.001次方这是很难计算的。那为了能计算这样的数字可以尝试逼近的思想。
但是函数又不能所有地方都相等那退而求其次只要在一个极小的范围可以持续逼近就可以了。这里可以看看具体如何逼近呢
第一步逼近处的函数值应当一样 可以看到在重合点处函数值相同那这逼近了吗不对差距太大了。为什么呢很明显在重合点之外的地方差得都太多了。因为趋势不对那趋势一样呢
第二步逼近处的一阶导数一样
那就要求函数值一样同时导数一样。 这已经非常接近但是为什么函数值一样导数值一样看上去还是不那么贴合呢因为导数的导数趋势还不够斜率不够接近所以想到了二阶导。
第三步斜率变化趋势二阶导一样再试试 第四步斜率变化趋势的趋势三阶导一样再试试
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第五步斜率变化趋势的趋势的趋势四阶导一样再试试
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导数是局部的性质所以一阶二阶三阶不影响其他部分的趋势。 使用幂函数贴近非常有意义
我们回顾一下一个多项式函数求导的过程~以这个函数为例。 我们算一阶导二阶导三阶导..... 当我们代入x0以及在多重导的情况下存在两种情况第一常数项被导没第二存在有x的项数代入x 0也没了。
在这种情况下具体的三阶导只和其系数有关。 所以其实n阶导数在x 0时导数只和n次项数前的系数以及n的阶乘有关。 再回过来看e的x次方
一个函数f(x)作为多项式假设是f(x) a bx cx² dx³....那其实常数项由a决定b决定一阶导c决定二阶导。。。
那如果e的x次方使用多项式逼近也就是上述的f(x) a bx cx² dx³.... 我们知道e的x次方导数都是e的x次方又在x 0处求导所以导数都是1。那我们就可以确定对应的a , b , c 等等所有值了。 皮亚诺公式 进一步思考那如果x不再趋近于0而是趋近于1例如f(1)的三次方还可以使用上面的规律吗
是可以的我们只需要把式子改成( x )改写成 ( x - 1 ) 就可以。
因为在构造对应的式子时我们巧妙利用了高阶导去除常数项以及x x0为零的特点构造了对应多项式。
那我们只需要满足在对应的点处f(x)的n阶导数相同那就其实可以满足对应的基本逻辑。 成立条件只在x0时成立 这里有很重要的一句话泰勒展开是更高阶的等价而之前的x~sinx只是一阶导的等价 奇思妙想
我把f(1)直接等价到了e乘以f(0)这种做法是不对的。因为趋近的模式均不再成立例如f(1)并不等于e*趋近式。 重点参考up主考研数学王昊元《【数一147】泰勒公式的顶级理解》他讲得真的不错。
