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1.1内积 1.2外积 1.3坐标系间的欧式变换
相机运动是一个刚体运动#xff0c;它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会 发生变化。这种变换称为欧氏变换。
旋转矩阵#xff1a;它是一个行列式为 1 的正交矩阵。 旋转矩阵为正交阵#xff0c;它的逆…1.旋转矩阵
1.1内积 1.2外积 1.3坐标系间的欧式变换
相机运动是一个刚体运动它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会 发生变化。这种变换称为欧氏变换。
旋转矩阵它是一个行列式为 1 的正交矩阵。 旋转矩阵为正交阵它的逆即转置描述了一个相反的旋转。 加上平移 1.4变换矩阵与齐次坐标 关于变换矩阵 T它具有比较特别的结构左上角为旋转矩阵右侧为平移向量左 下角为 0 向量右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧氏群Special Euclidean Group 求解该矩阵的逆表示一个反向的变换 2.Eigen库---线性代数库
#include Eigen/Core //核心部分
#include Eigen/Dense //稠密矩阵的代数运算逆、特征值等
using namespace Eigen;
//所有的向量矩阵都是
Matrix数据类型行列
Vector3d实质是 Matrixdouble,3,1
可以直接求逆 QR分解 cholesky分解 Eigen对数据类型转换严格可以通过显示转换来完成转换。
3.旋转向量和欧拉角
3.1旋转向量
事实上 任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。
于是我们可以使用一个 向量其方向与旋转轴一致而长度等于旋转角。这种向量称为旋转向量或轴角AxisAngle。这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转。同样对于变换矩阵我们使用一 个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的维数正好是六维。
旋转向量和旋转矩阵 之间是如何转换的呢假设有一个旋转轴为 n角度为 θ 的旋转显然它对应的旋转向 量为 θn。由旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯公式 3.2欧拉角 欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题Gimbal Lock①在俯仰角为 ±90◦ 时第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴使得系统丢失了一个自由度由三次 旋转变成了两次旋转。这被称为奇异性问题在其他形式的欧拉角中也同样存在。
4.四元数 既是紧凑的也没有奇异性。如果说缺点的话四元数不够直观其运算稍为复杂一些。 这式子给我们一种微妙的“转了一半”的感觉。同样对式3.19的 θ 加上 2π我们得到一个相同的旋转但此时对应的四元数变成了 −q。因此在四元数中任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。 四元数和自己的逆的乘积为实四元数的 1 5.四元数到旋转矩阵的转换 6.变换性质
