狮城app更多网站,企业网站建设公司那家好,菜鸟html教程,自己制作简易网页第三章#xff0c;矩阵#xff0c;07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解 一个基本的方法求 A − 1 B A^{-1}B A−1BLU分解例1#xff0c;求矩阵A的LU分解#xff1a;例12#xff0c;LU分解解线性方程组#xff1a; 玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记矩阵07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解 一个基本的方法求 A − 1 B A^{-1}B A−1BLU分解例1求矩阵A的LU分解例12LU分解解线性方程组 玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记例见原文 一个基本的方法
已知 A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F求可逆阵 P P P使 P A F PA F PAF ( F F F为 A A A的行最简形) 方法利用初等行变换将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘从而得到可逆矩阵P. 步骤 1对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形 A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F即 P l . . . P 2 P 1 A r F P_l...P_2P_1A^r F Pl...P2P1ArF 2求 P P l . . . P 2 P 1 PP_l...P_2P_1 PPl...P2P1 将 ( A , E ) (A, E) (A,E)看成分块矩阵后面的E为记录器对分块矩阵 ( A , E ) (A, E) (A,E)进行初等行变换 ( A , E ) → P l . . . P 2 P 1 ( A , E ) → ( P l . . . P 2 P 1 A , P l . . . P 2 P 1 ) → ( P A , P ) → ( F , P ) (A, E) \rightarrow P_l...P_2P_1(A, E) \rightarrow (P_l...P_2P_1A, P_l...P_2P_1) \rightarrow (PA, P) \rightarrow (F, P) (A,E)→Pl...P2P1(A,E)→(Pl...P2P1A,Pl...P2P1)→(PA,P)→(F,P) 即当A化为F后E化为P。 那么若A可逆 A − 1 A E A^{-1}A E A−1AE即将A化为单位阵右边的E就化为 A − 1 A^{-1} A−1
求 A − 1 B A^{-1}B A−1B
即将上面的“记录器”E换为B将A化为E的一系列行变换操作等效于左乘 A − 1 A^{-1} A−1全部作用到B上 A − 1 ( A , B ) ( E , A − 1 B ) A^{-1}(A, B)(E,A^{-1}B) A−1(A,B)(E,A−1B)
LU分解
假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘则A可以分解成如下的形式 A ( 1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ ∗ 1 ) ( ■ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ■ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ■ ∗ 0 0 0 0 0 ) L U A \begin{pmatrix} 1 0 0 0 \\* 1 0 0 \\* * 1 0\\* * * 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \blacksquare * * * * \\0 \blacksquare * * * \\0 0 0 \blacksquare *\\0 0 0 0 0 \end{pmatrix} LU A 1∗∗∗01∗∗001∗0001 ■000∗■00∗∗00∗∗■0∗∗∗0 LU L是单位下三角矩阵主对角线元素全是1它其实是一系列 E ( i j ( k ) ) E(ij(k)) E(ij(k))类型初等矩阵的乘积L可逆U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。
例1求矩阵A的LU分解
令 A ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) A \begin{pmatrix} 2 4 2 \\ 1 5 2 \\ 4 -1 9 \end{pmatrix} A 21445−1229 则 ( A , E ) ( 2 4 2 1 0 0 1 5 2 0 1 0 4 − 1 9 0 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 − 9 5 − 2 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 0 8 − 7 2 3 1 ) ( U , p ) (A,E)\begin{pmatrix} 2 4 2 1 0 0 \\ 1 5 2 0 1 0 \\ 4 -1 9 0 0 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 4 2 1 0 0 \\ 0 3 1 -\frac{1}{2} 1 0 \\ 0 -9 5 -2 0 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 4 2 1 0 0 \\ 0 3 1 -\frac{1}{2} 1 0 \\ 0 0 8 -\frac{7}{2} 3 1 \end{pmatrix} (U, p) (A,E) 21445−1229100010001 ∼ 20043−92151−21−2010001 ∼ 2004302181−21−27013001 (U,p) 故 U P A ⇒ A P − 1 U UPA \Rightarrow AP^{-1}U UPA⇒AP−1U有 A ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) ( 1 0 0 1 2 1 0 2 − 3 1 ) ( 2 4 2 0 3 1 0 0 8 ) L U A \begin{pmatrix} 2 4 2 \\ 1 5 2 \\ 4 -1 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 0 0\\ \frac{1}{2} 1 0\\ 2 -3 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 4 2\\ 0 3 1\\ 0 0 8 \end{pmatrix}LU A 21445−1229 121201−3001 200430218 LU
例12LU分解解线性方程组
将系数矩阵进行LU分解然后分两步解出方程 在具体求解时要使用数学软件来求计算机解线性方程组时就采用LU分解手动进行LU分解当然是比较麻烦的.
