我想买个空间自己做网站,php网站建设含义,wordpress传不上站点,湖南网站制作电话文章目录 前言一、求解逆矩阵二、线性方程组的解的存在性总结 前言
前文我们引入了逆矩阵的概念#xff0c;紧接着我们就需要讨论一个矩阵逆的存在性以及如何求解这个逆矩阵。最后再回归上最初的线性方程组的解#xff0c;分析其中的联系。 一、求解逆矩阵
我们先回想一下在… 文章目录 前言一、求解逆矩阵二、线性方程组的解的存在性总结 前言
前文我们引入了逆矩阵的概念紧接着我们就需要讨论一个矩阵逆的存在性以及如何求解这个逆矩阵。最后再回归上最初的线性方程组的解分析其中的联系。 一、求解逆矩阵
我们先回想一下在1.3消去法的矩阵表示中我们知道对一个系数矩阵做一些了的初等行变换可以将矩阵变为上三角矩阵U。再往前一步如果我们继续对U做初等行变换那么我们最终可以得到一个单位矩阵 I I I或者是一个包含零行的对角矩阵只有对角元素可能存在非零值全零矩阵为特殊对角矩阵。
首先第一种情况变成单位矩阵此时我们可以把所有初等行变换所对应的矩阵累乘起来表示为 B E n E n − 1 . . . E 2 E 1 BE_nE_{n-1}...E_2E_1 BEnEn−1...E2E1于是我们有 B A I BAI BAI。也就是说 B B B就是我们想要找的系数矩阵 A A A的逆矩阵。
而另一种情况存在零行就说明在初等行变换的过程中存在两行线性相关了经过乘系数相减后就变为全零了。此时则不存在 A A A的逆矩阵。这个也很好说明存在零行的矩阵无论乘上什么矩阵结果还会有零行因此不可能为单位阵。而初等变换不改变矩阵的可逆性因此不存在 A A A的逆矩阵。
因此我们可以归纳一下如果矩阵中的两行线性相关了则必然可以通过初等变换进行消去得到零行而存在零行则必然不可逆。从而得到一个结论矩阵中的行列向量若线性相关则矩阵不可逆。 这里有必要再重新定义一下线性相关对于一组向量 a 1 , a 2 , . . . a n a_1,a_2,...a_n a1,a2,...an都有 a 1 x 1 a 2 x 2 . . . a n x n 0 a_1x_1a_2x_2...a_nx_n0 a1x1a2x2...anxn0当且仅当系数 x i x_i xi均为0时成立则称这组向量线性无关否则为线性相关。 这个结论似乎和我们之前说的略有出入前面说的是两行线性相关而给出的定义是讨论一组向量的线性相关。其实下面是更一般的情况即使一组向量线性相关其中也可以存在个别向量之间线性无关。
按照所给定义而只要矩阵中的所有行向量线性相关则根据定义必然可以找到一组非全零系数 a i a_i ai使得上述方程成立也就是说明存在某一个行向量可以被其他行向量线性表示 a n a 1 x 1 a 2 x 2 . . . a n − 1 x n − 1 a_na_1x_1a_2x_2...a_{n-1}x_{n-1} ana1x1a2x2...an−1xn−1。因此我们可以通过初等变换将该行向量化为零行。按照线性表示系数的相反数依次去作乘系数相加最后该行会被完全消去 a n − a 1 x 1 − a 2 x 2 − . . . a n − 1 x n − 1 0 a_n-a_1x_1-a_2x_2-...a_{n-1}x_{n-1}0 an−a1x1−a2x2−...an−1xn−10也就是必然可以推导出零行。
反之若线性无关则没有任何一行向量可以被其他行向量线性表示也就找不到任意一组系数对应的初等变换可以完全消去该行因此矩阵的行列向量线性无关则必然存在逆矩阵。
二、线性方程组的解的存在性
现在我们从刚刚所介绍的线性相关性的角度再来审视一下线性方程组的解。我们要求方程组 A X 0 AX0 AX0的解就是要找到一组线性组合系数将矩阵中的列向量进行线性组合后得到一个零向量。这不就是线性相关性的定义吗如果这个方程组只要零向量的解则说明所有列向量线性无关反正则线性相关。因此系数矩阵A为可逆矩阵 ↔ \leftrightarrow ↔矩阵中的列行向量线性无关 ↔ \leftrightarrow ↔线性方程组 A X 0 AX0 AX0只有零解。
如果系数矩阵不可逆则线性方程组必然存在非零解且必然有无穷多个非零解。即使只有一个向量可以被其他向量线性表示也只需要对线性表示的系数同时乘上一个非零数线性表示方程仍然成立而乘上该非零数以后得到的x仍然是非零解。
此外关于 A X b AXb AXb这种线性方程组的解将在更加深入地讨论了线性相关性矩阵的秩等内容后做深入分析。
总结
本文先从初等变换的角度给出了判断矩阵可逆性以及求逆的方法随后再给出了线性相关性的定义以及矩阵的可逆性、向量线性相关性、以及线性方程组的解的相关关系。
