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news 2026/4/12 18:31:20

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1 偏差与方差

偏差（bias）：描述的是预测值（估计值）的期望与真实值之间的差距。偏差越大，越偏离真实数据，如下图第二行所示。
方差（variance）：描述的是预测值的变化范围，离散程度，也就是离其期望值的距离。方差越大，数据的分布越分散，如下图右列所示。
方差公式

Var(x)
=E((x−E(x))2)
=E(x2−2xE(x)+(E(x))2)
=E(x2)−2E(x)E(x)+(E(x))2
=E(x2)−2(E(x))2+(E(x))2
=E(x2)−(E(x))2
其实两个公式是等价的
样本方差公式：

式中：是样本的均值
标准差（就是方差的平方根）
标准差公式：

样本标准差公式：

为什么使用标准差？
与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处：
表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为6.4；两者相比较，标准差更适合人理解。
表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。
在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。

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https://www.zhihu.com/question/20852004
2 协方差covariance
定义
两个随机变量的协方差被定义为：

Cov(x,y)=E( (x−E(x) (y−E(y) )
因此方差是一种特殊的协方差。当x=y时：Cov(x,y)=Var(x)=Var(y)。
直观理解
协方差表示的是两个变量总体误差的方差，这与只表示一个变量误差的方差不同。　　如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。
协方差矩阵（必定是一个方阵）
2 相关系数
相关系数通过方差和协方差定义。两个随机变量的相关系数被定义为：
性质
- 1、有界性
  相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是无量纲的协方差。
- 2、统计意义
  值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表示两个变量没有相关性。