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三维球面坐标

Einsteinpy中提供了克氏符模型，可通过ChristoffelSymbols获取。简单起见，先以最直观的三维球面为例，来用Einsteinpy查看其克氏符的表达形式。

三维球面的度规张量可表示为

$$\begin{array}{rl}{g}_{00}& =1\\ g_{11}& =r^2\\ g_{22}& =r^2{\sin }^2\theta \\ g_{ij}& =0,i\ne j\end{array}$$

克氏符这个概念是从度规张量的协变导数为0的事实中得到的，换言之，可通过度规来得到克氏符的分量表达式

import numpy as np
import sympy
from einsteinpy.symbolic import MetricTensor, ChristoffelSymbols, RiemannCurvatureTensorr, th, phi = sympy.symbols('r theta phi')
# 球坐标度规
metric = np.diagflat([1,r**2,(r**2)*(sympy.sin(th)**2)])
m_obj.tensor()
# [[1, 0, 0], [0, r**2, 0], [0, 0, r**2*sin(theta)**2]]
ch = ChristoffelSymbols.from_metric(m_obj)
sympy.latex(ch.tensor())

打印出来如下

$$\left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -r& 0\\ 0& 0& -r{\sin }^2\left(\theta \right)\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{r}& 0\\ \frac{1}{r}& 0& 0\\ 0& 0& -\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}0& 0& \frac{1}{r}\\ 0& 0& \frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}\\ \frac{1}{r}& \frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}& 0\end{array}\right]\end{array}\right]$$

这就是克氏符的真实面貌。

史瓦西时空

下面来搞一下史瓦西时空中的克氏符，而在此之前，先给出史瓦西时空的度规

t, r, th, phi = sympy.symbols("t r theta phi")
G, M, c, a = sympy.symbols("G M c a")
c2 = c**2
# using metric values of schwarschild space-time
# a is schwarzschild radius
list2d = np.diagflat([1-a/r, -1 / ((1 - (a/r)) * c2), -1 * (r**2)/c2,-1 * (r**2) * (sympy.sin(th)**2) / c2])
sch = MetricTensor(list2d, [t, r, th, phi])
sympy.latex(sch.tensor())

即其度规张量为

$$\left[\begin{array}{cccc}-\frac{a}{r}+1& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{c^2\left(-\frac{a}{r}+1\right)}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{r^2}{c^2}& 0\\ 0& 0& 0& -\frac{r^2{\sin }^2\left(\theta \right)}{c^2}\end{array}\right]$$

上式中，$a$为史瓦西半径，$M$为天体质量。

接下来，就可以请出史瓦西空间中的克氏符了

sch_ch = ChristoffelSymbols.from_metric(sch)
sympy.latex(sch_ch.tensor())

$$\left[\begin{array}{ccc}\left[\begin{array}{cccc}0& \frac{a}{2r^2\left(-\frac{a}{r}+1\right)}& 0& 0\\ \frac{a}{2r^2\left(-\frac{a}{r}+1\right)}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}-\frac{a\left(\frac{a{c}^2}{2r}-\frac{c^2}{2}\right)}{r^2}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{a\left(\frac{a{c}^2}{2r}-\frac{c^2}{2}\right)}{c^2{r}^2{\left(-\frac{a}{r}+1\right)}^2}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2r\left(\frac{a{c}^2}{2r}-\frac{c^2}{2}\right)}{c^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{2r\left(\frac{a{c}^2}{2r}-\frac{c^2}{2}\right){\sin }^2\left(\theta \right)}{c^2}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{r}& 0\\ 0& \frac{1}{r}& 0& 0\\ 0& 0& 0& -\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)\end{array}\right]& \left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{r}\\ 0& 0& 0& \frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}\\ 0& \frac{1}{r}& \frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}& 0\end{array}\right]\end{array}\right]$$