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70. 爬楼梯 （进阶）

在原题基础上，改为：一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，…，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1阶，2阶，… m阶就是物品，楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

• 1.确定dp数组以及下标的含义
  dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
• 2.确定递推公式
  本题dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
  那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
• 3.dp数组如何初始化、
  既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。
  下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果。
• 4.确定遍历顺序
  这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
  所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
  每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
• 5. 举例来推导dp数组

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:dp = [0]*(n+1)dp[0] = 1for i in range(n+1):for j in range(1,m+1):if i - j >= 0:dp[i] += dp[i-j]return dp[-1]

把代码中的m替换为2，即为本题的完全背包解法。

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

思路：题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

动规五部曲分析如下：

• 1.确定dp数组以及下标的含义
  dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
• 2.确定递推公式
  凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
  所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
  递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
• 3. dp数组如何初始化
     首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
     考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。
• 4. 确定遍历顺序 求组合，不在乎顺序
     遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
• 5.举例推导dp数组

class Solution:def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:dp = [amount+1] * (amount + 1)dp[0] = 0for coin in coins:for j in range(coin,amount+1):dp[j] = min(dp[j - coin] + 1 , dp[j])return dp[amount] if dp[amount] < amount + 1 else -1

279.完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

人话：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
• 2.确定递推公式
  dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
  此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
• 3.dp数组如何初始化
  dp[0]表示和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
  从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
• 4.确定遍历顺序
  如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
  如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
  所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
• 5. 举例推导dp数组

class Solution:def numSquares(self, n: int) -> int:'''先遍历背包, 再遍历物品'''# 初始化nums = [i**2 for i in range(1, n + 1) if i**2 <= n]dp = [10**4]*(n + 1)dp[0] = 0# 遍历背包for j in range(1, n + 1):# 遍历物品for num in nums:if j >= num:dp[j] = min(dp[j], dp[j - num] + 1)return dp[n]