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这件事情的起因是这样的，我需要研究一下各种图像置乱的算法。然后在知乎上找到了一篇关于Arnold变化的文章，但是呢，这个人实际上是卖资料，代做大作业的。详细的代码根部不给你，则给我气坏了，必须要手动实现一下，打击他卖资料的嚣张气焰。

简书上的一个作者写的还是相当不错的，这是网址链接。

Arnold 变换是俄国数学家 Vladimir I. Arnold提出的一种变换，一幅 $N\times N$ 的数字图像的二维Arnold
变换定义为:

$$\left[\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^n\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]\mathrm{mod}N$$

注意：$x$，$y$ 是原图像的像素坐标，$x^{\prime }$，$y^{\prime }$ 是变换后的像素坐标。保证 $|ad-bc|＝1$，如置换矩阵系数设为 $a＝b＝1$，$c＝2$，$d=3$，置换次数 $n=20$，则他们被当作密钥 key，用于解密。Arnold 变换的图像类型只能是 $N\times N$ 的图片。

我从网络上面下载了一朵花的图片，如下

代码编写

close all;
%图像加密置乱：
a=imread('flower.png');               %取预处理图像
a=a(1:226,1:226,1:3);                 %截取成正方形
R=a(:,:,1);                           %取图像的R层像素
G=a(:,:,2);                           %取图像的G层像素
B=a(:,:,3);                           %取图像的B层像素
figure;
subplot(2,2,1);imshow(a);title('original');
subplot(2,2,2);imshow(R);title('R');
subplot(2,2,3);imshow(G);title('G');
subplot(2,2,4);imshow(B);title('B');%三个不同密钥
keyR=10;keyG=20;keyB=30;aR=arnold(R,keyR,1);aG=arnold(G,keyG,1);aB=arnold(B,keyB,1);%对各层用不同的密钥加密
figure;
subplot(2,2,1);imshow(aR);title('aR');%加密后的图像
subplot(2,2,2);imshow(aG);title('aG');
subplot(2,2,3);imshow(aB);title('aB');
aa=cat(3,aR,aG,aB);                            %各层加密后在合成彩色图像
subplot(2,2,4); imshow(aa); title(' Permuted');%RGB图像加密后的结果
imwrite(aa,'a_flower.bmp');%图像解密
R=arnold(aR,keyR,0);G=arnold(aG,keyG,0);B=arnold(aB,keyB,0);%对各层用不同的密钥加密
R=uint8(R);G=uint8(G);B=uint8(B);
figure;
subplot(2,2,1);imshow(R);title('R');
subplot(2,2,2);imshow(G);title('G');
subplot(2,2,3);imshow(B);title('B');
flower=cat(3,R,G,B);                              %各层加密后在合成彩色图像
subplot(2,2,4); imshow(flower); title('恢复的图案');%RGB图像解密后的结果

arnold.m 是一个单独的函数文件

function img=arnold(img,key,pon)
%img是原始图片
%Key是输入的密钥
%a,b是置乱矩阵里面的值
%pon表示正变换或者反变换
[h, w]=size(img);
a=2;b=3;
img_new = zeros(h,w);  %[h, w]=size(img)
N=h;if(pon)%正变换for i=1:key   %n为置乱轮数for y=1:hfor x=1:wxx=mod((x-1)+b*(y-1),N)+1;  %a,b可提前指定yy=mod(a*(x-1)+(a*b+1)*(y-1),N)+1;img_new(yy,xx)=img(y,x);endendimg=img_new;end
else%反变换for i=1:keyfor y=1:hfor x=1:wxx=mod((a*b+1)*(x-1)-b*(y-1),N)+1;yy=mod(-a*(x-1)+(y-1),N)+1  ;img_new(yy,xx)=img(y,x);endendimg=img_new;end
end

周期分析

我现在知道为什么了，因为广义的 Arnold 算法根本没有周期性。

理论上下面的代码是可以计算周期的，但是我跑到了 $10^7$ 的数量级，依然没有闭环。等以后如果弄明白了再来讲吧。

%计算Arnold变换的周期T可以利用一下MATLAB程序来实现。x = 1; y = 1;N = 4; %N × N为128 ×128的图像
T = 1;
t = x; x = x + y; y = 2*t+3*y;
while x~= 1 || y~= 1T = T + 1;if x >Nx =mod ( x,N) ;endif y >Ny =mod ( y,N) ;endt = x; x = x + y; y = 2*t+3*y;
endT %所得的T值即为Arnold变换的周期