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news 2026/4/8 1:23:11

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上一次我们了解了矩阵的运算和如何使用矩阵解决斐波那契数列，这一次我们多看看例题，了解什么情况下用矩阵比较合适。

先看例题

1.洛谷P1939 【模板】矩阵加速（数列）

模板题应该很简单。

补：1<n<=10^9

10^9肯定超了，所以可以用矩阵做

我们可以观察到，每一项（x>3）都是由两个量组成，于是创建矩阵：

$A=[a_{n-1},a_{n-3}]$

同时： $B=A\times base=[a_{n},?]$

那么因为如果要再让 $A\times base\times base=[a_{n+1},??]$ ,A*base 之后还是应该是前一个为一项，后一项为它的两项前。所以?处应为 $a_{n-2}$ 。??处应为什么自己想想，发在评论区里吧。

但是， $a_{n-2}$ 在A中并没有出现，这样我们就不可以用A*base表示B了，因为矩阵的乘法中，必须要上一个矩阵中有的元素，才能进入下一个矩阵中。

无论怎样， $a_{n-2}$ 都无法表示为 $n\times a_{n-1}+m\times a_{n-2}$ 的形式，所以B不可以由A构成。

那这个时候就可以用一个巧妙的方法：我们在A和B中都增加 $a_{n-2}$ 这一项，这样就会变成

$[a_{n-1},a_{n-2},a_{n-3}]\times base=[a_{n},a_{n-1},a_{n-2}]$

$a_{n}$ 可以表示为 $a_{n-1}+a_{n-3}$ ，这样就可以满足每一个条件都可以了。

那么我们利用矩阵乘法，在纸上演算七七四十八个小时，就可以得出，

$base=\begin{bmatrix} 1,1,0\\ 0,0,1\\ 1,0,0\\ \end{bmatrix}$

那么用和斐波那契数列一样的做法，快速幂即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
struct Matrix{int n,m;long long a[100][100];Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}Matrix(int _n,int _m){n=_n;m=_m;memset(a,0,sizeof(a));}
};
Matrix ans(1,3);
Matrix base(3,3);
void init(){ans.a[0][0]=1;ans.a[0][1]=1;ans.a[0][2]=1;base.a[0][0]=1;base.a[0][1]=1;base.a[0][2]=0;base.a[1][0]=0;base.a[1][1]=0;base.a[1][2]=1;base.a[2][0]=1;base.a[2][1]=0;base.a[2][2]=0;
}
Matrix mul(Matrix a,Matrix b){Matrix res(a.n,b.m);for(int i=0;i<a.n;i++){for(int j=0;j<b.m;j++){for(int k=0;k<a.m;k++){res.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod;}res.a[i][j]%=mod;}}return res;
}
Matrix bpow(Matrix a,long long n){Matrix res(a.n,a.n);for(int i=0;i<a.n;i++)res.a[i][i]=1;while(n!=0){if(n&1){res=mul(res,a);}a=mul(a,a);n>>=1;}return res;
}
long long F(long long n){base=bpow(base,n-3);/*for(int i=0;i<3;i++){for(int j=0;j<3;j++){cout<<base.a[i][j];}cout<<endl;}*/ans=mul(ans,base);return ans.a[0][0]%mod;
}
int main(){long long t;cin>>t;while(t--){long long n;cin>>n;if(n<=3){cout<<1<<endl;continue;}init();cout<<F(n)<<endl;}return 0;
}