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在分类任务中，我们通常使用交叉熵作为损失函数，首先给出交叉熵的计算公式：
二分类中：
L = 1 N ∑ i L i = 1 N ∑ i − [ y i l o g ( p i ) + ( 1 − y i ) ⋅ l o g ( 1 − p i ) ] \mathcal{L}=\frac1{N}\sum_{i}L_i=\frac1{N}\sum_{i}-[y_ilog(p_i)+(1-y_i)\cdot log(1-p_i)] L=N1i∑Li=N1i∑−[yilog(pi)+(1−yi)⋅log(1−pi)] 其中， y i y_i yi表示样本的label， p i p_i pi表示第i个样本预测为正类的概率。
多分类中：
L = 1 N ∑ i = − 1 N ∑ i ∑ c = 1 M y i c l o g ( p i c ) \mathcal{L}=\frac1{N}\sum_{i}=-\frac1{N}\sum_{i}\sum_{c=1}^{M}y_{ic}log(p_{ic}) L=N1i∑=−N1i∑c=1∑Myiclog(pic) 其中，M是样本类别的数量， y i c y_{ic} yic是样本i的label取等于c取1，否则取0， p i c p_{ic} pic第i个样本预测属于类别c的概率。
那么交叉熵为什么好呢，举一个例子：
| 预测值 | label | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.3 0.3 0.4 | 0 0 1 （democrat） | 是 |
| 0.3 0.4 0.3 | 0 1 0 （republican） | 是 |
| 0.1 0.2 0.7 | 1 0 0 （other） | 否 |
如果使用分类误差作为损失函数，该神经网络的分类误差为 1/3，请注意，这个net只是勉强正确地完成了前两个样本，并且在第三个样本上相差甚远。看这个例子：
| 预测值 | label | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.1 0.2 0.7 | 0 0 1 （democrat） | 是 |
| 0.1 0.7 0.2 | 0 1 0 （republican） | 是 |
| 0.3 0.4 0.3 | 1 0 0 （other） | 否 |
这个net的分类误差也是1/3，但是它很明显比上面那两个更好，对于前两个样本它很好的完成了分类，对于第三个样本则比较勉强，我们发现，分类误差是一种非常粗略的性能度量标准。
对于这两个net我们计算交叉熵的值分别是1.37和0.54，第二个net的损失就比较小，这是符合逻辑的，相比于分类误差，交叉熵会更精细。同样我们也可以计算均方误差（MSE）作为损失，它的公式为： M S E = 1 n ∑ i n ( y i ^ − y i ) 2 MSE=\frac1n\sum_i^n(\hat{y_i}-y_i)^2 MSE=n1i∑n(yi^−yi)2 计算出来的值分别是0.81和0.34。但是相比于交叉熵，MSE过于强调不正确的输出，如果使用softmax层进行分类，反向传播的方法训练网络，有可能出现训练停滞不前的情况。
本文的例子来自Why You Should Use Cross-Entropy Error Instead Of Classification Error Or Mean Squared Error For Neural Network Classifier Training